Kompleks sapların (a + ib, a ve b reel sayılar ve f= -1) tarihsel öyküsü, insanların bilimsel olaylara yaklaşımının zamanla nasıl değiştiğini anlamamıza ışık tutuyor. Sayma ve sayı kavramı, on binlerce yıl önce bilinmesine rağmen, negatif sayıların varlığı Avrupada ancak 16. yüzyılda benimsendi.

Negatif sayılara bakışın negatif olduğu dönemlerde karesi -1 olan bir sayının varlığı elbette kabul edilemezdi. Ancak günümüzde karesi -1 olan bir sayının varlığının da en az reel sayılar kadar gerçek ve tartışılmaz olduğu biliniyor.

Sayıların evrensel tarihi bir bakıma insanlığın olayları algılama ve kavrama tarihidir. Sayma ve sayılarla ilgili ilk bilgiler günümüzden yaklaşık 35.000 yıl öncesine dayanıyor. Negatif sayıların ise ilk kez M.Ö. 2. yüzyılda Çinliler tarafından kullanıldığını görüyoruz. Bu sayıların Avrupa’ya ulaşması ise ancak 16. yüzyılda mümkün oldu. Tarihte 1,2, 3,4, 5,… gibi sayma sayıları dışındaki sayılara karşı uzun süren bir direnç olduğunu ve kolayca kabul edilmediğini görüyoruz. Örneğin V2 gibi a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılar için Yunanlılar ‘irrasyonel’ (rasyonel olmayan, akla aykırı) ifadesini kullanıyordu. Matematiğin daha çok olgulara dayandığı dönemlerde negatif sayıları kabul etmek kolay değildi. Çünkü somut olarak 3 elmadan 5 elmayı çıkarmak imkansızdı ve insanlar da böyle düşünüyorlardı. İskende­riyeli ünlü matematikçi Diophantus bile Arithmetica isimli eserinde 4x + 20 = 0 denkleminin çözümü için ‘absürd’ ifadesini kullanmıştı. Ticaretin gelişmesi ve borçlanmanın yaygınlaşmasıyla negatif sayıların kullanılması işleri kolaylaştırıyordu. Ancak yine de negatif sayılara bakış yüzyıllar boyunca adı gibi negatif oldu. Kuşkusuz bu dönemlerde karesi negatif olan bir sayının varlığı kabul edilemezdi.

Özellikle ikinci dereceden denklemlerin (ax² + bx=c) çözümüyle uğraşan her matematikçi daha önceki sayılardan farklı bir durumla karşılaşıyordu. Örneğin x² + 7 = 0 yani bir sayının kendisiyle çarpımına 1 eklediğimizde sıfır elde edilmesi gibi. Bu denklemin çözümünde x² = -1 ve x=V-1 elde edilir. Bu sonucu gören matematikçiler çözümün olmadığını belirtip konuyu kapatıyorlardı.

Diophantus ve daha sonra Hintli matematikçi Brahmagupta ikinci dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili önemli bilgiler verdiler. Ancak önceki matematikçilerden farklı olarak genel çözümün Harizmi (Ebu Abdullah Mu- hammed bin Musa el-Harizmi) (780 – 850) ta­rafından verildiğini görüyoruz. Bu dönemlerde matematikçiler denklem çözümlerinde daha çok geometrik yaklaşımları benimsiyorlardı ve o yüzden karesi negatif olan bir sayının olamayacağını düşünüyorlardı.

İskenderiyeli matematikçi ve mühendis Heron’un (10 – 70) kesik piramit şeklindeki cisimlerin hacmini hesaplarken karesi -1 olan bir sayı ile karşılaştığı ve bunu ilk fark eden matematikçi olduğu iddia edili­yor. Heron’dan sonra Diophantus’un da sadece kesik piramit değil diğer geometrik hesaplamalarda da bu sayılarla karşılaştığı iddia ediliyor. Ancak bu döneme kadar matematikçilerin bu sayıların varlığını kabul ettiklerine dair somut bir bilgi yok. Hatta 9. yüzyılda Hintli matematikçi Mahaviracarya negatif sayıların köklerinin olmayacağını yani karesi negatif olan bir sayının bulunmadığını kesin bir dille ifade ediyordu.

Mısır’da bulunan bir papirüs gerçeğin farklı olabileceğini gösteriyor. Birçok yönüyle hâlâ gizemini koruyan antik çağ uygarlıkları hakkında bilgilerimiz arttıkça, onların sanıldığı gibi pek de geri olmadıkları hatta çok illeri düzeyde bazı kavramları bildiklerini görüyoruz. 1878 yılında Mısır’da bir mezarı soyan hırsızlar buldukları papirüsleri Rus asıllı Antik Mısır uzmanı V.S. Golenishchev’e sattılar. Golenishchev 1912 yılında bu papirüsleri Moskova Güzel sanatlar müzesine verdi. Papirüs burada incelendi ve 1930 yılında çevirisi tamamlandığında, papirüslerin yazıldığı dönemdeki Mısır matematiği hakkında, çok önemli bilgilere ulaşıldı. Günümüzde Moskova Matematik Papirüsü olarak da bilinen papirüsün M.Ö. 1850’li yıllarda yazıldığı tahmin ediliyor. Papirüsteki bilgilere göre kesik bir piramidin hacminin nasıl hesaplanacağı o dönemde biliniyordu. Moskova Matematik Papirüsündeki bilgilerden yola çıkan bazı bilim insanları eski mısırlıların karesi -1 olan sayıları bildiklerini veya benzer bir durumla karşılaştık­larını iddia etiler. Böyle bir durumla karşılaşmışlarsa da muhtemelen bunu anlamsız bulmuşlar.

Sanılanın aksine, negatif sayıların karekökü ikinci dereceden değil, üçüncü dereceden (ax³ + bx² + cx = d) denklemlerin çözümü sırasında ciddi olarak düşünülmeye başlandı. İkinci dereceden denklemlerin çözümünde karesi -1 gibi negatif bir sayının olamayacağı düşünülerek çözümün olmadığı kabul edilmişti. Belki bu dönem­de insanlar karesi negatif bir sayı olan yeni bir sayıyı kav­ramsal olarak benimsemiyordu ve çözümün olmadığını kabul etmek daha cazip geliyordu. Ancak üçüncü dere­ceden denklemlerin çözümünde durum farklıydı. Çünkü böyle bir sayının varlığı veya benzer bir yaklaşım, çözüm­de büyük kolaylıklar sağlıyordu. Ancak bu o kadar da ko­lay olmadı. Örneğin üçüncü dereceden denklemlerin çö­zümüyle uğraşan ilk matematikçilerden biri olan Ömer Hayyam’ın (1048 – 1131) bu sayılarla ilgili bilgisinin olup olmadığı bilinmiyor. Ömer Hayyam’dan sonra gelen Le- onardo da Pisa (Fibonacci) (1170-1250), Nicolo Tartaglia (1499-1557) gibi matematikçilerin d e x = 7 gibi bir sayı hakkında somut çalışma yapıp yapmadıkları bilinmiyor.

Mısır papirüslerini başlangıç olarak alırsak yaklaşık 3400 yıl boyunca insanlar bu sayıların varlığını inkâr etti­ler. Yok sayıldı, böyle bir şey olamaz denildi. Hatta bu ko­nuda ilk önemli adımı atan İtalyan matematikçi Gerola- mo Cardano (1501 – 1576) bile bunlar için ‘akıl işkencesi’ tabirini kullandı.

Cardano kompleks sayıların cebirde kullanılmasını sağlayan ilk bilim insanı olarak biliniyor. Ancak Cardano bu konuyu Ars Magna (Büyük Sanat) adlı eserinde detaylı olarak ele almadı. Cardano’dan sonra Rafael Bombelli’nin konuyu daha detaylı ele aldığını görüyoruz. Bombel- li kompleks sayıları kullanarak üçüncü dereceden denk­lemlerin köklerini daha kolay bulduğunu belirtmişti.

Cardano’ya kadar geçen süre kompleks sayıların ilk dönemi sayılabilir. Bu döneme kadar varlığı kabul edil­meyen bu sayılar artık inkâr edilemez bir biçimde etki­sini hissetiriyordu.

1637 yılında Fransız filozof Rene Decartes (1596 – 1650) ilk kez bu sayılar için ‘imaginery’ terimini kullan­dı ve negatif bir sayının karekökünü ‘sanal’ olarak nite­ledi. Ona göre herhangi bir hesaplamada sanal sayıların bulunması, gerçekte, çözümün olmadığı anlamına geli­yordu. Bu konuda Isaac Newton da Decartes’la aynı ka­nıdaydı.

18. ve 19. yüzyıllarda kompleks sayılar adeta altın ça­ğını yaşadı ve çok sayıda matematikçi bu sayılarla ilgi­lendi: Leonhard Euler, Abraham de Moivre, Cari Friedrich Gauss, VVilliam Rowan Hamilton, Augustin Louis Cauchy, Bernhard Rieman, Kari VVeierstrass ve daha niceleri.

Leonard Euler (1707 – 1783) ilk kez kompleks sayı­lar için i = V-1 kavramlaştırmasını kullandı. Cardano’dan Euler’e kadar geçen dönemi kompleks sayıların ikinci dönemi olarak kabul edebiliriz. Önce varlığı kabul edil­meyen, sonra üçüncü dereceden denklemlerin çözü­münde büyük kolaylıklar sağladığı için üşenerek de ol­sa kabul edilen ve daha sonra çok sayıda matematikçinin üzerinde çalıştığı ve adeta kimliğini aydınlattığı bu sayılar, Euler’le birlilkte artık üçüncü dönemine giriyordu. Bu dönemde kompleks sayılar adeta kurtarıcı rolünde, çok sayıda zor problemin kolay çözümünde anahtar rol üst­lenmişti. Kompleks sayıların bulunması ve buna dayalı kompleks analiz, matematikte görünürde birbirleri ile il­gisi olmayan çok sayıda farklı konu veya nicelikler arasın­da bağıntı bulmayı son derece kolaylaştırıyordu. Euler’in 1748 yılında bulduğu eşitlik buna en güzel örnektir. Euler, bütün reel 6 (theta)’lar için

eⁱ⁰ = CosG + i sinG olduğunu ispatladı. Bu eşitlik sol­daki kompleks değerli üs fonksiyonu ile trigonometrinin normal reel değerli sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasın­daki bir bağlantıyı ifade ediyor.

Abraham de Moivre (1667 – 1754) kendi adıyla bili­nen formülü kullandığında adeta kompleks sayılar için gerçek anlamda hoş geldin partisi veriyordu. (Cos(0) + i sin(9))ⁿ = Cos(nÖ) + i sin(n9), n bir tamsayı.

Trigonometrik fonksiyonlarla işlem yapmanın ne ka­dar zor olduğunu eminim matematikle uğraşan herkes bilir ve yukarıdaki formül, hesaplamalarda inanılmaz ko­laylık sağlıyor. Sanal kabul edilen, varlığı tartışılan ve ço­ğu zaman red edilen bu sayılar de Moivre formülü ile matematikte güçlü bir şekilde yerini alıyordu.

Matematikçiler prensi olarak kabul edilen Gauss, bu sayılar için ‘kompleks sayılar’ ifadesini kullandı. Komp­leks sayıların ne tamamen reel ne de tamamen sanal ol­madığı görüldü. Aksine ikisinin karışımıydılar. Gauss’un çalışmalarıyla kompleks sayılara adeta resmiyet kazandı­rıldı. Gauss, kompleks sayıları bir düzlem üzerindeki nok­talar şeklinde düşünerek matematiğin ‘kompleks analiz’ denilen dalının temellerini attı. Benzer çalışmaları daha önce Norveçli matematikçi Casper VVessel de yapmıştı. 1837 yılında VVilliam R. Hamilton, Gauss’un çalışmalarını geliştirerek kompleks sayıları (x,y) koordinatları ile belir­ledi ve bu sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinin yo­lunu açtı. Gauss ve Hamilton’ın çalışmaları sayılar dünya­sı için çok önemli gelişmelerdi. Reel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilirken kompleks sayılar düzlem üzerin­de gösteriliyordu. Reel sayılardan daha geniş olan komp­leks sayılar bilinen tüm sayıları kapsıyordu. Kari VVeiers- trass kompleks analize tam bir kesinlik kazandırdı ve adeta matematik binasındaki kompleks sayılar dairesi­nin tapusunu verdi. Rieman, kompleks analizin geomet­rik teorisini geliştirdi ve günümüzde hâlâ çözüm bekle­yen ünlü ‘Rieman Hipotezi’ni 1859 yılında ortaya attı.

24 Mayıs 2000 yılında Paris’te yapılan bir toplantı­da Clay Matematik Enstitüsü milenyumun 7 problemi­ni anons ediyordu. Bunlar için 7 milyon dolarlık ödül ko­nulmuştu. Yani her bir problemi çözene 1 milyon dolar ödül verilecekti. Bu problemlerden biri de 1859 yılında Rieman tarafından ortaya atılan ‘Rieman Hipotezi’dir ve hâlâ çözülmemiştir. Eğer bu problemi çözerseniz ve çö­zümünüz de onaylanırsa 1 milyon doları alabilirsiniz.

Kompleks sayılarla sayı dünyasına son noktayı koy­duk mu? Kuşkusuz hayır. Bilim insanları karşılaştığı prob­lemlerin çözümünde yeni sayılara ihtiyaç duyarlarsa bunları elbette kullanacaklar. Bereket ki eskisi gibi direnç yok. Karesi -1 olan bir sayının olamayacağı uzun süre ka­bul edildi. Peki ya sıfırdan farklı fakat karesi sıfır olan bir sayı var mı? Eminim cevabınız biraz şaşkınlıla’tabi ki ola­maz’şeklindedir. Ancak böyle bir sayı var. VVilliam King- don Clifford (1845 – 1879) tarafından geliştirilen ‘dual sa­yılar’da kompleks sayılara benzer şekilde a + ub şeklin­de gösteriliyor; a ve b reel, cü sıfırdan farklı fakat kare­si sıfır olan sayı. Kompleks sayılarla dual sayıları bir ara­ya getirdiğimizde a+ib+tuc+icod şeklinde yeni bir sayı el­de edebiliriz. Bu yeni sayılar kompleks sayıları da kapsı­yor ve daha geniş bir sayı kümesi.