ax² + bx + c = 0 denkleminin  Δ < 0 iken  reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin,  x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0  Þ    x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur. Peki şimdi ne yapacağız?
 

  TANIM:
 a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen  z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
        C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve  Ö-1 = i } dir.

( i = Ö-1  Þ i² = -1 dir.)

  z = a + bi karmaşık sayısında  a  ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı,  b  ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

 

 

Örnek:

 Z1 = 3 + 4i,  Z2 = 2 – 3i,  Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.

Z2 = 4- 3i  Þ Re(Z2) = 4 ve İm(Z2) = -3,

Z3 =  Ö3 +2i  Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 2,

Z4 =  12  Þ Re(Z4) = 12 ve İm(Z4) = 0,

 

Z5 = 13i  Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 13 dur.

 

Örnek:

            x² - 2x + 5 = 0     denkleminin çözüm kümesini bulalım.

 

Çözüm:

 

 Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.

 Δ = b² - 4ac = ( -2) ² -  4.1.5 = -16 = 16.i²

  X1,2 = -b ± ÖΔ   =  -(-2) ± Ö16i² =  2 ± 4i  = 1 ± 2i  dir.

              2a                   2.1              2

 

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.

    İ ‘NİN KUVVETLERİ

 

 iº = 1, 

 i¹ = i, 

 i² = -1,

 i³ = -i,

 i4 = 1,

 i5 = i,

 ...

 Görüldüğü gibi  i  nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

 

Buna göre , n Î N olmak üzere,        i4n = 1      i4n + 1 =  i      i4n + 2  = -1      i4n + 3 =  -i   dir.